Question

將數列{a_n}的各項排成如圖所示的三角形形狀．
（Ⅰ）若數列{a_n}是首項為1，公差為2的等差數列，寫出圖中第5行第5個數；
（Ⅱ）若函數f（x）=a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_nxⁿ，且f（1）=n²，求數列{a_n}的通項公式；
（III）設T_m為第m行所有項的和，在（II）的條件下，用含m的代數式表示T_m．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題求得a_n=1+2（n-1）=2n-1，
又因為第5行第5個數是數列{a_n}的第15個項，
所以第5行第5個數是29．（2分）
（II）由f（1）=n²，得a₁+a₂+a₃++a_n=n²．（3分）
設S_n是數列{a_n}的前n項和，
∴S_n=n²．
當n=1時，a₁=S₁=1，（5分）
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1．（6分）
又當n=1時，2n-1=1=a₁，
∴a_n=2n-1（n=1，2，）．（8分）
即數列{a_n}的通項公式是a_n=2n-1．
（III）由（II）知數列{a_n}是首項為1，公差為2的等差數列．（9分）
∵前m-1行共有項，
∴第m行的第一項為．（11分）
∴第m行構成首項為m²-m+1，公差為2的等差數列，且有m項．
∴．（13分）
分析：（Ⅰ）先利用條件求出數列{a_n}的通項，再判斷出第5行第5個數是數列{a_n}的第15項即可．
（Ⅱ）由f（1）=n²?a₁+a₂+a₃++a_n=n²．就是已知數列{a_n}的前n項和求其通項公式．代a_n=S_n-S_n-1 （n≥2）最后檢驗n=1時通項是否成立即可．
（III）由（Ⅱ）知數列{a_n}是首項為1，公差為2的等差數列．且第m行所有項構成一個新的首項為m²-m+1，公差為2的等差數列，代入等差數列的求和公式即可．
點評：本題是對數列知識的綜合考查．且考查了已知前n項和為S_n求數列{a_n}的通項公式，根據a_n和S_n的關系：a_n=S_n-S_n-1 （n≥2）求解數列的通項公式．另外，須注意公式成立的前提是n≥2，所以要驗證n=1時通項是否成立，若成立則：a_n=S_n-S_n-1 （n≥2）；若不成立，則通項公式為分段函數．