Question

（本小題滿分12分）已知橢圓的焦點坐標為，，且短軸一頂點B滿足，

（Ⅰ） 求橢圓的方程；

（Ⅱ）過的直線l與橢圓交于不同的兩點M、N，則△MN的內切圓的面積是否存在最大值？若存在求出這個最大值及此時的直線方程；若不存在，請說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）=1；（Ⅱ）直線l:x=1，△AMN內切圓面積的最大值為π。

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由題，設橢圓方程為=1（a>b>0），不妨設B（0，b），

則，

故橢圓方程為=1；

（Ⅱ） 設M，N,不妨設>0, <0,設△MN的內切圓半徑為R，

則△MN的周長=4a=8，（MN+M+N）R=4R因此最大，R就最大，

，

由題知，直線l的斜率不為零，可設直線l的方程為x=my+1，

由得+6my-9=0，

則==，

令t=,則t≥1,則,

令f（t）=3t+，則f′（t） =3-，當t≥1時，f′（t）≥0,f（t）在［1,+∞）上單調遞增，

故有f（t）≥f（1）="4," ≤=3,

即當t=1,m=0時，≤="3," =4R，∴=，

這時所求內切圓面積的最大值為π．

故直線l:x=1，△AMN內切圓面積的最大值為π。

考點：橢圓的簡單性質；直線與橢圓的綜合應用。

點評：直線與圓錐曲線聯系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現，主要涉及位置關系的判定，弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等．突出考查了數形結合、分類討論、函數與方程、等價轉化等數學思想方法．