Question

【題目】如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是棱長為2的正方形，側面PAD為正三角形，且面PAD⊥面ABCD，E、F分別為棱AB、PC的中點．

（1）求證：EF∥平面PAD；

（2）求三棱錐B-EFC的體積；

（3）求二面角P-EC-D的正切值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2） （3）

【解析】試題分析：（1）取PD中點G，利用平幾知識可得EFGA是平行四邊形，即得EF∥AG，再根據線面平行判定定理得結論，（2）求體積關鍵在求高：取AD中點O，由面面垂直性質定理可得PO⊥面ABCD，即得高為PO一半，再代入錐體體積公式得體積，（3）求二面角關鍵在作出二面角的平面角，連OB交CE于M，由平幾知識可得OM⊥EC．再利用三垂線定理可得PM⊥EC，即得∠PMO是二面角P-EC-D的平面角，最后再直角三角形中求∠PMO的正切值即可.

試題解析：

（1）證明：取PD中點G，連結GF、AG，

∵GF為△PDC的中位線，∴GF∥CD且，

又AE∥CD且，∴GF∥AE且GF=AE，

∴EFGA是平行四邊形，則EF∥AG，

又EF面PAD，AG面PAD，

∴EF∥面PAD；

（2）解：取AD中點O，連結PO，

∵面PAD⊥面ABCD，△PAD為正三角形，∴PO⊥面ABCD，且，

又PC為面ABCD斜線，F為PC中點，∴F到面ABCD距離，

故；

（3）解：連OB交CE于M，可得Rt△EBC≌Rt△OAB，

∴∠MEB=∠AOB，則∠MEB+∠MBE=90°，即OM⊥EC．

連PM，又由（2）知PO⊥EC，可得EC⊥平面POM，則PM⊥EC，

即∠PMO是二面角P-EC-D的平面角，

在Rt△EBC中，，∴，

∴，即二面角P-EC-D的正切值為．