Question

已知函數f(x)=-

1

4

x4+

2

3

x3+ax2-2x-2在區間[-1，1]上單調遞減，在區間[1，2]上單調遞增，
（1）求實數a的值
（2）若關于x的方程f（2^x）=m有三個不同實數解，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可得，x=1取得極小值從而有f'（1）=0，代入可求a
（2）由關于x的方程f（2^x）=m有三個不同實數解，?關于t的方程f（t）=m在t∈（0，+∞）上有三個不同實數解，?y=f（t）的圖象與直線y=m在t∈（0，+∞）上有三個不同的交點

解答：解：（1）由函數f(x)=-

1

4

x4+

2

3

x3+ax2-2x-2在區間[-1，1]上單調遞減，在區間[1，2]上單調遞增，x=1取得極小值∴f'（1）=0…（2分）
∵f'（x）=-x³+2x²+2ax-2
∴f'（1）=-1+2+2a-2=0⇒a=

1

2

…（4分）
（2）由（1）知f(x)=-

1

4

x4+

2

3

x3+

1

2

x2-2x-2，
∴f'（x）=-x³+2x²+x-2=-（x-1）（x+1）（x-2），…（5分）
令f'（x）=0得x=1，x=-1，x=2

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，2）	2	（2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+	0	-
f（x）	增	f(-1)=- 5 12	減	f(1)=- 37 12	增	f(2)=- 8 3	減

所以函數f（x）有極大值f(-1)=-

5

12

，f(2)=-

8

3

，極小值f(1)=-

37

12

f（x）的示意圖如圖
因關于x的方程f（2^x）=m有三個不同實數解，令2^x=t（t＞0）
即關于t的方程f（t）=m在t∈（0，+∞）上有三個不同實數解，即y=f（t）的圖象與直線y=m在t∈（0，+∞）上有三個不同的交點．
而y=f（t）的圖象與y=f（x）的圖象一致．又f（0）=-2由圖可知-

37

12

＜m＜-

8

3

…（10分）

點評：本題主要考查了函數的導數與函數單調性及函數的極值之間的關系的應用，函數與方程之間的相互轉化的思想的應用．