Question

【題目】如圖，DC⊥平面ABC，，，，P、Q分別為AE，AB的中點.

(1)證明：平面.

(2)求異面直線與所成角的余弦值；

(3)求平面與平面所成銳二面角的大小。

Answer 1

【答案】(1)見證明；(2) (3)

【解析】

（1）根據三角形中位線性質得線線平行，再根據線面平行判定定理得結果，（2）先根據條件建立空間直角坐標系，設各點坐標，利用向量數量積求直線方向向量夾角，即得異面直線所成角，（3）先根據條件建立空間直角坐標系，設各點坐標，利用方程組解得平面法向量，根據向量數量積得法向量夾角，最后根據向量夾角與二面角關系得結果.

解：（1）證明：因為分別是的中點，

所以，，

又，

所以，，平面，

平面，

所以，平面.

（2）因為平面

以點為坐標原點，分別以的方向為軸的正方向建立空間直角坐標系.

則得，

所以，

所以，

所以異面直線與所成角的余弦值.

（3）由（Ⅱ）可知，，

設平面的法向量為

， .

由已知可得平面的法向量為以，

所以.

故所求平面與平面所成銳二面角的大小為.