Question

若關于x的不等式x²-ax-6a＜0有解，且解區間的長度不超過5個單位長，則a的取值范圍是（ ）
A．-25≤a≤1
B．a≤-25或a≥1
C．-25≤a＜0或1≤a＜24
D．-25≤a＜-24或0＜a≤1

Answer 1

【答案】分析：先根據不等式x²-ax-6a＜0有解判斷出判別式大于0，得到a的范圍，再由解的區間長度縮小a的范圍即可．
解答：解：設方程x²-ax-6a=0的兩根分別為x₁，x₂，則
△＞0，∴a²+24a＞0，∴a＞0或a＜-24
∵解區間的長度就是方程x²-ax-6a=0的兩個根的距離
由韋達定理，可得x₁+x₂=a，x₁•x₂=-6a
所以（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=a²+24a
∵長度不超過五個單位長
∴|x₁-x₂|≤5
∴（x₁-x₂）²≤25
∴a²+24a≤25
∴-25≤a≤1
綜上，-25≤a＜-24或0＜a≤1
故選D．
點評：本題考查一元二次不等式的應用，考查韋達定理，正確理解題意是關鍵．