Question

在數列{a_n}中，若a₁，a₂是正整數，且a_n=|a_n-1-a_n-2|，n=3，4，5，…，則稱{a_n}為“絕對差數列”，
（Ⅰ）舉出一個前五項不為零的“絕對差數列”（只要求寫出前十項）；
（Ⅱ）若“絕對差數列”{a_n}中，a₂₀=3，a₂₁=0，數列{b_n}滿足b_n=a_n+a_n+1+a_n+2，n=1，2，3，…，分別判斷當n→∞時，a_n與b_n的極限是否存在，如果存在，求出其極限值；
（Ⅲ）證明：任何“絕對差數列”中總含有無窮多個為零的項。

Answer 1

（Ⅰ）解： （答案不惟一）；
（Ⅱ）解：因為在絕對差數列{a_n}中，a₂₀=3，a₂₁=0，
所以自第20項開始，該數列是
，
即自第20項開始，每三個相鄰的項周期地取值3，0，3，
所以當n→∞時，a_n的極限不存在；
當n≥20時，，所以。
（Ⅲ）證明：根據定義，數列{a_n}必在有限項后出現零項。
證明如下：假設{a_n}中沒有零項，由于，
所以對于任意的n，都有，
從而當時，；
當時，；
即a_n的值要么比a_n-1至少小1，要么比a_n-2至少小1，
令，n=1，2，3，…，
則2，3，4，…），
由于c₁是確定的正整數，這樣減少下去，必然存在某項c₁＜0，這與c_n＞0（n=1，2，3，…）矛盾，
從而{a_n}必有零項，
若第一次出現的零項為第n項，記，則自第n項開始，每三個相鄰的項周期地取值0，A，A，
即，
所以絕對差數列{a_n}中有無窮多個為零的項。