Question

已知公比為q的等比數列{a_n}，則數列{a_n+a_n+1}（　　）

• A、一定是等比數列
• B、可能是等比數列，也可能是等差數列
• C、一定是等差數列
• D、一定不是等比數列

Answer 1

分析：此題考查等差數列和等比數列的概念，運用等比數列的通項公式，求出數列{a_n+a_n+1}的通項公式，再根據等比數列的概念：從第二項起，后一項比前一項是同一個常數，得出比值，再根據比值判斷數列的性質．

解答：解：設數列{a_n}的首項為a₁，由題意知a_n=a₁q^n-1，a_n+1=a₁qⁿ，
a_n+a_n+1=a₁q^n-1+a₁qⁿ=a₁qⁿ（

1

q

+1）
a_n+1+a_n+2=a₁qⁿ+a₁qⁿ⁺¹=a₁qⁿ（1+q）
當q=-1時，數列{a_n+a_n+1}為a_n=0的一個常數列，是一個等差數列
當q≠-1時

an+1+an+2

an+an+1

=

1 q + 1

1+q

=

1

q

當q≠±1時，

1

q

 是一個不為1的常數，所以數列{a_n+a_n+1}是等比數列；
當q=1時，

1

q

=1，所以數列{a_n+a_n+1}是一個常數列，它既是等差數列，又是等比數列
故選B

點評：本題是一道考查數列概念方面較好的題目，既可以訓練學生對通項公式的掌握，又可以訓練學生判斷數列屬性的能力，屬于概念考查類題目