Question

21.

    已知拋物線y²=2px(p>0)的焦點為F，A是拋物線上橫坐標為4、且位于x軸上方的點，A到拋物線準線的距離等于5，過A作AB垂直于y軸，垂足為B，OB的中點為M.

    (1)求拋物線方程；

    (2)過M作MN⊥FA，垂足為N，求點N的坐標；

    (3)以M為圓心，MB為半徑作圓M.當K(m，0)是x軸上一動點時，討論直線AK與圓M的位置關系.

Answer 1

21.(1)拋物線y²=2px的準線為x=-，

于是4+=5，∴p=2.

   ∴拋物線方程為y²=4x.

   (2)∵點A是坐標是(4，4)，

 由題意得B(0，4)，M(0，2)，

   又∵F(1，0)，∴k_FA=；MN⊥FA，∴k_MN=-，

   則FA的方程為y=(x-1)，MN的方程為y-2=-x，

   

 

(3)由題意得，圓M.的圓心是點(0，2)，半徑為2，

當m=4時，直線AK的方程為x=4，此時，直線AK與圓M相離.

當m≠4時，直線AK的方程為y=(x-m)，

即為4x-(4-m)y-4m=0，

圓心M(0，2)到直線AK的距離d=，

令d>2，解得m>1

∴當m>1時，AK與圓M相離；

  當m=1時，AK與圓M相切；

  當m<1時，AK與圓M相交.