Question

【題目】已知橢圓的離心率為，點在橢圓上.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過橢圓內一點的直線的斜率為，且與橢圓交于兩點，設直線， （為坐標原點）的斜率分別為，若對任意，存在實數，使得，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .

【解析】試題分析：

（Ⅰ）由離心率中得，再點的坐標代入橢圓方程又得一關于的方程，結合可求得，得標準方程；

（Ⅱ）設直線的方程為，設， ，由直線方程與橢圓方程聯立消元后可得，計算，并代入，由的任意性可得，由于直線與橢圓問題相交的，因此點在橢圓內部，即，最終可得范圍．

試題解析：

（Ⅰ）橢圓的離心率，所以，

又點在橢圓上，所以，解得， ，

所以橢圓的方程為.

（Ⅱ）設直線的方程為.

由，消元可得，

設， ，則， ，

而 ，由，得，

因為此等式對任意的都成立，所以，即.

由題意得點在橢圓內，故，即，解得.