Question

扇形AOB的周長為8cm．
（1）若這個扇形的面積為3cm²，求圓心角的大小；
（2）求這個扇形的面積取得最大值時圓心角的大小和弦長AB．

Answer 1

分析：（1）根據周長和面積列出關于r和l的方程組，解方程組即可．
（2）根據周長和S=

1

2

lr=

1

4

l•2r以及均值不等式求出最大值，進而得出半徑，即可求出弦長．

解答：解：設扇形AOB的半徑為r，弧長為l，圓心角為α
（1）由題意知

2r+l=8 1 2 lr=3

解得：

r=3 l=2

或

r=1 l=6

∴α=

l

r

=

2

3

或6
（2）∵2r+l=8
∴S=

1

2

lr=

1

4

l•2r≤

1

4

(

l+2r

2

)2=

1

4

×(

8

2

)2=4
當且僅當2r=l，即α=

l

r

=2時，面積取得最大值4
∴r=2
∴弦長AB=2sin1×2=4sin1

點評：此題考查了扇形面積公式以及均值不等式的運用，屬于中檔題．