Question

某汽車生產企業上年度生產一品牌汽車的投入成本為10萬元/輛，出廠價為13萬/輛,年銷售量為5000輛．本年度為適應市場需求,計劃提高產品檔次,適當增加投入成本，若每輛車投入成本增加的比例為, 則出廠價相應提高的比例為，年銷售量也適當增加．設年利潤=(每輛車的出廠價－每輛車的投入成本)×年銷售量

(1) 若年銷售量增加的比例為，為使本年度的年利潤比上年度有所增加,則投入成本增加的比例應在什么范圍內?

(2) 若本年度的銷售量（輛）關于的函數為，則當為何值時,本年度的年利潤最大?最大利潤為多少?

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) 當時,本年度的年利潤比上年度有所增加

 (Ⅱ) 當時,本年度的年利潤最大,最大利潤為萬元

【解析】（1）先求出上年度的利潤萬元，再求出本年度的利潤，令>15000,解得；

（2）由題意得本年度的利潤為，對函數求導研究其單調性，極值，也就得到函數的最值

(Ⅰ)由題意得:上年度的利潤為萬元

本年度每輛車的投入成本為萬元

本年度每輛車的出廠價為萬元

本年度年銷售量為萬元

因此本年度的利潤為     3分

     4分

由

解得所以當時,本年度的年利潤比上年度有所增    6分

(Ⅱ)本年度的利潤為

則

由,解得或            10分

當時, ,是增函數;            11分

當時, ,是減函數;            12分

當時,取最大值萬元,            13分

因此在上只有一個極大值,所以它是最大值

所以當時,本年度的年利潤最大,最大利潤為萬元.