Question

已知數列｛an｝的首項a1＝a(a是常數)，an＝2an－1＋n2－4n＋2(n∈N且n≥2)． (1) ｛an｝是否可能是等差數列？若可能，求出｛an｝的通項公式；若不可能，說明理由． (2) 設b1＝b，bn＝an＋n2(n∈N，n≥2)，Sn是數列｛bn｝的前n項的和，且｛Sn｝是等比數列，求實數a、b滿足的條件．

Answer 1

答案：
解析：

(1)

解析：∵a1＝a，由an＝2an－1＋n2－4n＋2(n＝2，3，…)，得a2＝2a＋4－8＋2＝2a－2，a3＝2a2＋9－12＋2＝4a－5，a1＝2a3＋2＝8a－8 　　a2－al＝2a－2－a＝a－2，a3－a2＝2a－3，a4－a3＝4a－3． 　　若｛an｝是等差數列，則a2－a1＝a3－a2，得a＝1，但由a3－a2＝a4－a3，得a＝0，矛盾． 　　∴｛an｝不可能是等差數列．

(2)

∵bn＝an＋n2，∴bn+1＝an+1＋(n＋1)2＝2an＋(n＋1)2－4(n＋1)＋2＋(n＋1)2＝2an＋2n2＝2bn(n≥2)． 　　∴b2＝a2＋4＝2a＋2．當a≠－1時，bn≠0，｛bn｝從第2項起是以2為公比的等比數列． 　　∴Sn＝b1＋＝b＋(2a＋2)(2n+1－1)＝(a＋1)2n＋b－2a－2． 當n≥2時，＝＝2－． 　　∵｛Sn｝是等比數列，∴(n≥2)是常數．∵a≠－1，∴b－2a－2＝0． 　　當a＝－1時，b2＝0，由bn＝2bn+1，(n≥3)，得bn＝0(n≥2)，∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝b． 　　∵｛Sn｝是等比數列，∴b≠0． 　　綜上，｛Sn｝是等比數列，實數a、b所滿足的條件為或 　　點評：(1)要證一個數列不是等差(或等比)數列，只要證連續的三項中后一項與前一項的差(比)不相等或者用反證法；(2)解第(2)問的關鍵是要用a、b的代數式表示Sn，因此需要探索數列｛bn｝所具有的性質．