Question

【題目】已知函數．

Ⅰ若時，求函數的單調區間；

Ⅱ若，則當時，記的最小值為M，的最大值為N，判斷M與N的大小關系，并寫出判斷過程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）,證明見解析.

【解析】

Ⅰ求出函數的導數，通過討論m的范圍，求出函數的單調區間即可；

Ⅱ令，討論m的范圍，根據函數的單調性求出的最大值和的最小值，結合函數恒成立分別判斷即可證明結論．

解：Ⅰ函數定義域為R，分

當，即時，，此時在R遞增，

當即，

時，，遞增，

時，，遞減，

時，，遞增；

，即時，

和，，遞增，

時，，遞減；

綜上所述，時，在R遞增，

時，在，遞增，在遞減，

時，在，遞增，在遞減；

Ⅱ，

當時，由知在遞增，在遞減，

，

當時，函數單調遞減，

所以其最小值為，最大值為，

所以下面判斷與的大小，

即判斷與的大小，其中，

令，，

令，則，

因，所以，單調遞增；

所以，，

故存在使得，

所以在上單調遞減，在單調遞增

所以，

所以時，，

即也即．