Question

【題目】已知函數（）在處的切線與直線平行.

（1）求的值并討論函數在上的單調性；

（2）若函數（為常數）有兩個零點（）

①求實數的取值范圍；

②求證：

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①；②見解析.

【解析】試題分析：（1）根據切線的斜率可知在處的導數，從而求出的值,再根據導數的正負討論函數的單調區間即可；（2）①根據函數有兩個零點知，函數的最小值要小于0即可求出；②設，構造函數（），利用導數確定函數單調性，再根據即可求證.

試題解析：

（1），

，∴.

∴

令，

則

∴時， ； 時， .

則在上單調遞增，在上單調遞減.

∴在時， ，

即時， ，

∴函數在上單調遞減.

（2）①由條件可知， ，

則

∴在上單調遞減，在上單調遞增；

要使函數有兩個零點，則

∴.

②證明：由①可知，∴，

又是兩個零點

∴

令（）

則，

∴

即

又在上單調遞減，

∴，即