Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，拋物線E：x2=4y的焦點F是橢圓 （a＞b＞0）的一個頂點．過點F且斜率為k（k≠0）的直線l交橢圓C于另一點D，交拋物線E于A、B兩點，線段DF的中點為M，直線OM交橢圓C于P、Q兩點，記直線OM的斜率為k'，滿足 ．
（1）求橢圓C的方程；
（2）記△PDF的面積為S1 ， △QAB的面積為S2 ， 設 ，求實數λ的最大值及取得最大值時直線l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可設直線l的方程為y=kx+1，

聯立 ，得（1+a2k2）x2+2a2kx=0．

解得： ， ．

∴M（ ， ），則k′= ，

由 ，得 ．

∴a2=4．

則橢圓C的方程為

（2）解：由（1），知點D的坐標為（ ），又F（0，1），

∴|DF|= ．

由 ，得x2﹣4kx﹣4=0．

△=16k2+16＞0恒成立．

設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=4k，x1x2=﹣4．

因此 = ．

由題意，直線OM的方程為y=﹣ ．

由 ，得（1+4k2）x2﹣16k2=0．

顯然，△=﹣4（1+4k2）（﹣16k2）＞0恒成立，且x= ．

不妨設 ，則 ．

∴點P的坐標為（ ），而點Q的坐標為（ ）．

點P到直線kx﹣y+1=0的距離 ，

點Q到直線kx﹣y+1=0的距離 ．

∴ = ．

= = ．

∴S1S2= = ．

∵ ，

∴ = = ．

當且僅當3k2=k2+1，即k= 時，等號成立．

∴實數λ的最大值為 ，λ取最大值時的直線方程為 ．

【解析】（1）由題意設出直線l的方程為y=kx+1，與橢圓方程聯立，求出D的坐標，利用中點坐標公式求得M的坐標，得到OM的斜率結合已知求得a值，則橢圓方程可求；（2）由（1），知點D的坐標為（ ），又F（0，1），可得|DF|．由 ，利用弦長公式求得|AB|．求出直線OM的方程為y=﹣ ．由 ，求得P、Q的坐標，由點到直線的距離公式求得點P到直線kx﹣y+1=0的距離 ，點Q到直線kx﹣y+1=0的距離 ．代入三角形面積公式，整理后利用基本不等式求得實數λ的最大值及取得最大值時直線l的方程．