Question

已知函數f（x）=（c^x-a）²-2x，a∈R，e為自然對數的底數．
（I）求函數f（x）的單調增區間；
（II）證明：對任意，恒有成立；
（III）當a=0時，設，證明：對ε∈（0，1），當時，不等式總成立．

Answer 1

（I）解：f′（x）=2e^x（e^x-a）-2=2（e^2x-ae^x-1）
令f′（x）＞0，解得
∴f（x）的單調增區間是
（II）證明：由（I）知，當x∈（-∞，0）時，h（x）=e^2x-2x是減函數；當x∈[0，+∞）時，h（x）=e^2x-2x是增函數；
∴h（x）≥h（0）
∴e^2x-2x≥1
∴e^2x≥2x+1
時，∴e^-2x≥-2x+1＞0
∴
∴對任意，恒有成立；
（III）證明：當a=0時，得f（x）=e^2x-2x
∴
=
=
∵ε∈（0，1），∴當時，
由（II）知，，
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴當時，
∴當時，不等式總成立
分析：（I）求導函數，令f′（x）＞0，解得f（x）的單調增區間；
（II）當x∈（-∞，0）時，h（x）=e^2x-2x是減函數；當x∈[0，+∞）時，h（x）=e^2x-2x是增函數，從而h（x）≥h（0），進而可證對任意，恒有成立；
（III）當a=0時，得f（x）=e^2x-2x，從而=，可證，根據當時，，可得當時，不等式總成立
點評：本題以函數為載體，考查導數法求函數的單調區間，考查不等式的證明，解題的關鍵是充分利用函數的單調性，難度較大．