Question

已知函數有如下性質：如果常數a＞0，那么該函數在上是減函數，在上是增函數，
（1）如果函數的值域是[6，+∞），求實數m的值；
（2）研究函數（常數a＞0）在定義域內的單調性，并說明理由；
（3）若把函數（常數a＞0）在[1，2]上的最小值記為g（a），求g（a）的表達式．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意，易得由已知，函數在上是減函數，在上是增函數，則該函數當x=時，取得最小值，有題意知其最小值為6，可得，解可得答案；
（2）根據題意，求得的定義域為x≠0，再令t=x²，x≠0，有t＞0，則y=t+，那么該函數在上是減函數，在上是增函數，而t=x²在（0，+∞）單調遞增，在（-∞，0）單調遞減；
由復合函數的單調性分析可得答案；
（3）由（2）的結論，分可、、三種情況討論，分別得到g（a）的表達式，即可得答案．
解答：解：（1）由已知，函數在上是減函數，在上是增函數，
∴
∴，3^m=9
因此m=2．
（2）根據題意，，x≠0，
令t=x²，x≠0，則t＞0，
故y=t+，那么該函數在上是減函數，在上是增函數，
而t=x²在（0，+∞）單調遞增，在（-∞，0）單調遞減；
由復合函數的單調性，
當時，t=x²遞增，t在上，則y=t+是減函數，故f（x）在上是減函數，
當x∈時，t=x²遞增，t在上，則y=t+是增函數，故f（x）在上是增函數，
當x∈，t=x²遞減，t在上，則y=t+是增函數，故f（x）在上是減函數，
當x∈，t=x²遞減，t在上，則y=t+是減函數，故f（x）在上是增函數，
因此f（x）在，上是減函數，在，上是增函數．
（3）由（2）知，f（x）在上是減函數，在上是增函數，
于是當，即a＞16時，，
當，即1≤a≤16時，，
當，即0＜a＜1時，g（a）=f（1）=1+a．          
因此．
點評：本題考查函數單調性的運用，解題的關鍵在于緊扣題干所給函數的單調性的性質，并利用其解題．