Question

【題目】在正方形中， 的中點為點， 的中點為點，沿將向上折起得到，使得面面，此時點位于點處．

（Ⅰ）證明： ；

（Ⅱ）求面與面所成二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】試題分析：（Ⅰ）利用折疊前后的不變量得到有關垂直關系，進而利用線面垂直的判定定理得到線面垂直，再利用線面垂直的性質得到線線垂直；（Ⅱ）同（Ⅰ）證明有關線面垂直和線線垂直，進而建立適當的空間直角坐標系，利用空間向量進行求解．

試題解析：（Ⅰ）證明：連接，交于點，交于點，連接， ，

如圖所示，在正方形中， 為中點， 為中點，所以；

由于為沿著翻折而來，從而，所以面，

而在平面內，所以.

（Ⅱ）設中點為，連接，交于點，連接. 同（Ⅰ）可證，從而面面，所以；由面，可得面面，又因為面面，且面與面相交于，所以面．

設為原點，過點作軸平行于，作軸平行于， 為軸，如圖所示，不妨設正方形邊長為3，從而， ， ， ， ， ，

又因為，所以， ，在直角中，由勾股定理可得，

所以，即，所以可以求得面的法向量為，面的法向量為，所以可以得出法向量，則所求二面角的正弦值為．