Question

已知數列

1

1×2

，

1

2×3

，

1

3×4

，…

1

n(n+1)

…計算S₁，S₂，S₃，根據據算結果，猜想S_n的表達式，并用數學歸納法進行證明．

Answer 1

S1=1-

1

2

S2=1-

1

3

S3=1-

1

4

猜想：Sn=1-

1

n+1

下面用數學歸納法加以證明：①n=1時，左邊S1=1-

1

2

=

1

2

，右邊1-

1

2

=

1

2

②假設n=k時，猜想成立，即

1

1×2

+

1

2×3

++

1

k(k+1)

=1-

1

k+1

1

1×2

+

1

2×3

++

1

k(k+1)

+

1

(k+1)(k+2)

=1-

1

k+1

+

1

(k+1)(k+2)

=1-

1

k+1

(1-

1

k+2

)=1-

1

(k+1)+1

∴n=k+1時猜想也成立
根據1，2可知猜想對任何n∈N^*都成立．