Question

雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞1，b＞0）的焦點距為2c，直線l過點（a，0）和（0，b），且點（1，0）到直線l的距離與點（-1，0）到直線l的距離之和s≥

4

5

c．求雙曲線的離心率e的取值范圍．

Answer 1

分析：直線l的方程是bx+ay-ab=0．點（1，0）到直線l的距離d1=

b(a-1)

a2+b2

，點（-1，0）到直線l的距離d2=

b(a+1)

a2+b2

，s=d1+d2=

2ab

a2+b2

=

2ab

c

．由S≥

4

5

c知5a

c2-a2

≥2c2．所以4e⁴-25e²+25≤0．由此可知e的取值范圍．

解答：解：直線l的方程為

x

a

+

y

b

=1，即bx+ay-ab=0．
由點到直線的距離公式，且a＞1，得到點（1，0）到直線l的距離d1=

b(a-1)

a2+b2

，
同理得到點（-1，0）到直線l的距離d2=

b(a+1)

a2+b2

s=d1+d2=

2ab

a2+b2

=

2ab

c

．
由s≥

4

5

c，得

2ab

c

≥

4

5

c，即5a

c2-a2

≥2c2．
于是得5

e2-1

≥2e2，即4e⁴-25e²+25≤0．解不等式，得

5

4

≤e2≤5．
由于e＞1＞0，
所以e的取值范圍是

5

2

≤e≤

5

．

點評：本題主要考查點到直線距離公式，雙曲線的基本性質以及綜合運算能力．