Question

在四棱錐中，側面底面，，底面是直角梯形，，，，.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）設為側棱上一點，，試確定的值，使得二面角為.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）以為原點建立空間直角坐標系則

，，所以，， 又由平面，可得，所以平面.（Ⅱ）

【解析】

試題分析：解法一：

（Ⅰ）平面底面，，所以平面，………1分 

所以,  .……2分

如圖，以為原點建立空間直角坐標系.

則 3分

，，

所以，， 4分

又由平面，可得，所以平面. 6分

（Ⅱ）平面的法向量為， 7分

，，

所以，  8分

設平面的法向量為，，，

由，，得

所以，，  9分

所以，  10分

所以，  11分

注意到，得.  12分   

法二：（Ⅰ）∵面PCD⊥底面ABCD，面PCD∩底面ABCD=CD，PD面PCD，且PD⊥CD

∴PD⊥面ABCD，………1分 又BC面ABCD，∴BC⊥PD   ①…. .…..……2分

取CD中點E，連結BE，則BE⊥CD，且BE=1

在Rt△ABD中，，在Rt△BCE中，BC=  4分

∵, ∴BC⊥BD  ②5分

由①、②且PD∩BD=D

∴BC⊥面PBD.        6分

（Ⅱ）過Q作QF//BC交PB于F，過F作FG⊥BD于G，連結 GQ.

∵BC⊥面PBD，QF//BC

∴QF⊥面PBD，∴FG為QG在面PBD上的射影，

又∵BD⊥FG ∴BD⊥QG

∴∠FGQ為二面角Q-BD-P的平面角；由題意，∠FGQ="45°" 8分

設PQ=x，易知

∵FQ//BC，∴

∵FG//PD∴ 10分

在Rt△FGQ中，∠FGQ=45°

∴FQ=FG，即  ∴… 11分

∵   ∴     ∴… 12分

考點：線面垂直及二面角

點評：本題中結合已知條件可知利用空間向量法求解較簡單，要證明線面垂直只需證明直線的方向向量與平面的法向量平行，二面角大小為只需滿足兩半平面的法向量夾角為