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設n∈N*且n≥2,證明不等式＜1+＜2.

證明：(1)先證左端不等號成立.

①n=2時,1+成立.

②設n=k(k≥2)時,1+＞成立.

當n=k+1時,有1+

=

=

＞,

即n=k+1時,1+成立.

由①②知,對于任何n∈N*(n≥2)不等式左端成立.

(2)再證右端不等式,

①當n=2時,1+成立.

②假設n=k時,＜成立,

當n=k+1時,,

下面證明,

∵(基本不等式放縮)==0,

∴,

即當n=k+1時,成立.

由①②知對任意n∈N*(n≥2)不等式右端成立.

綜上兩部分證明知原不等式成立.

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1
a2
+
1
a3
+…+
1
an
=
2(n-1)
n
2(n-1)
n
．

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