Question

用反證法證明：若x，y都是正實數，且x+y＞2求證：

1+x

y

＜2或

1+y

x

＜2中至少有一個成立．

Answer 1

分析：假設

1+x

y

≥2且

1+y

x

≥2，根據x，y都是正數可得 x+y≤2，這與已知x+y＞2矛盾，故假設不成立．

解答：證明：假設

1+x

y

＜2與

1+y

x

＜2都不成立，即

1+x

y

≥2且

1+y

x

≥2，…（2分）
∵x，y都是正數，∴1+x≥2y，1+y≥2x，…（5分）
∴1+x+1+y≥2x+2y，…（8分）
∴x+y≤2…（10分）
這與已知x+y＞2矛盾…（12分）
∴假設不成立，即

1+x

y

＜2或

1+y

x

＜2中至少有一個成立…（14分）

點評：本題考查用反證法證明數學命題，推出矛盾，是解題的關鍵和難點．