Question

如圖,在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AB=BC，D、E分別為BB₁、AC₁的中點.

(1)證明:ED為異面直線BB₁與AC₁的公垂線;

(2)設AA₁=AC=2AB,求二面角A₁—AD—C₁的大小.

Answer 1

(1)證明：如圖，建立直角坐標系O—xyz，其中原點O 為AC的中點.?

設A（a,0,0）,B(0,b,0),B₁(0,b,2c).?

則C（-a,0,0）,C₁(-a,0,2c),E(0,0.c),D(0,b,c).?

=(0,b,0),=(0,0,2c).?

·=0，∴ED⊥BB₁.?

又=（-2a,0,2c）, ·=0，?

∴ED⊥AC₁，

∴ED是異面直線BB₁與AC₁的公垂線.

(2)解：不妨設A（1，0，0）?

則B（0，1，0），C（-1，0，0），A₁（1，0，2），?

=（-1，-1，0），=（-1，1，0），=（0，0，2）?

·=0，·=0.?

即BC⊥AB，BC⊥AA₁.

又AB∩AA₁=A,?

∴BC⊥面A₁AD.?

又E（0，0，1），D（0，1，1），C（-1，0，0）.?

=(-1,0,-1),=(-1,0,1),=(0,1,0),?

·=0，·=0，即EC⊥AE，EC⊥ED.?

又AE∩ED=E,?

∴EC⊥面C₁AD.?

cos〈,〉==，即得和的夾角為60°.?

∴二面角A₁—AD—C₁為60°.