Question

【題目】設命題p：直線mx﹣y+1=0與圓（x﹣2）2+y2=4有公共點；設命題q：實數m滿足方程 + =1表示雙曲線．
（1）若“p∧q”為真命題，求實數m的取值范圍；
（2）若“p∧q”為假命題，“p∨q”為真命題，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：若命題p：直線mx﹣y+1=0與圓（x﹣2）2+y2=4有公共點是真命題，

則圓心（2，0）到直線mx﹣y+1=0的距離不大于半徑，

即 ，

解得： ．

∴命題p真時， ．

命題p假時， ．

命題q：實數m滿足方程 + =1表示雙曲線是真命題，

則（m﹣1）（2﹣m）＜0，解得m＜1或m＞2．

命題q假時，1≤m≤2．

若“p∧q”為真命題，則p真q真，∴ ，解得m≤ ．

∴實數m的取值范圍為：（﹣∞， ]；

（2）解：若“p∧q”為假命題，“p∨q”為真命題，則p、q一真一假，

當p真q假時，則 ，不存在滿足條件的m值．

當p假q真時，則 ，解得 ．

綜上，實數m的取值范圍為：（ ，1）．

【解析】求出p，q成立的等價條件，（Ⅰ）若“p∧q”為真命題，則p真q真，即可求實數m的取值范圍；（Ⅱ）若“p∧q”為假命題，“p∨q”為真命題，則p、q一真一假，當p真q假時，求出m的取值范圍，當p假q真時，求出m的取值范圍，然后取并集即可得答案．
【考點精析】本題主要考查了復合命題的真假的相關知識點，需要掌握“或”、 “且”、 “非”的真值判斷:“非p”形式復合命題的真假與F的真假相反；“p且q”形式復合命題當P與q同為真時為真，其他情況時為假；“p或q”形式復合命題當p與q同為假時為假，其他情況時為真才能正確解答此題．