Question

甲、乙兩名射手在一次射擊中的得分為兩個相互獨立的隨機變量ξ，η，已知甲、乙兩名射手在每次射擊中擊中的環數均大于6環，且甲射中10，9，8，7環的概率分別為0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8環的概率分別為0.3，0.3，0.2
（1）求ξ，η的分布列
（2）求ξ，η的數學期望與方差，并以此比較甲、乙的射擊技術．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意利用題中的條件已知甲、乙兩名射手在每次射擊中擊中的環數均大于6環，且甲射中10，9，8，7環的概率分別為0.5，3a，a，0.1，可以得到：0.5+3a+a+0.1=1解出a的值，再有隨機變量ξ，η的意義得到相應的分布列；
（2）由于（1）中求得了隨機變量的分布列，利用期望與方差的定義與二則的實際含義即可．
解答：解：（1）依題意得0.5+3a+a+0.1=1，解得a=0.1，
因為乙射中10，9，8環的概率分別為0.3，0.3，0.2，
乙射中7環的概率，1-（0.3+0.3+0.2）=0.2，
ξ，η的分布列為：

ξ	10	9	8	7
P	0.5	0.3	0.1	0.1

η	10	9	8	7
P	0.3	0.3	0.2	0.2

（2）利用期望定義得：Eξ=10×0.5+9×0.3+8×0.1+7×0.1=9.2，
                     Eη=10×0.3+9×0.3+8×0.2+7×0.2=8.7，
                    Dξ=0.5×（10-9.2）²+0.3×（9-9.2）²+0.1×（8-9.2）²+0.1×（7-9.2）²=0.96，
                    Dη=0.3×（10-8.7）²+0.3×（9-8.7）²+0.2×（8-8.7）²+0.2×（7-8.7）²=1.21，
利用期望與方差的幾何含義可知：甲選手的平均成績比乙的優秀且成績相對穩定．
點評：此題考查了隨機變量的分布列，期望與方差的計算公式及幾何含義，注意計算時的準確度及公式使用的正確性．