Question

【題目】在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點．
（1）求證：平面AED⊥平面A1FD1；
（2）在AE上求一點M，使得A1M⊥平面ADE．

Answer 1

【答案】
（1）證明：建立如圖所示的空間直角坐標系D﹣xyz，

不妨設正方體的棱長為2，則A（2，0，0），E（2，2，1），

F（0，1，0），A1（2，0，2），D1（0，0，2），

設平面AED的法向量為

=（x1，y1，z1），

則 =（x1，y1，z1）（2，0，0）=0，

=（x1，y1，z1）（2，2，1）=0，

∴2x1=0，2x1+2y1+z1=0．

令y1=1，得 =（0，1，﹣2），

同理可得平面A1FD1的法向量 =（0，2，1）．

∵ =0，∴ ，

∴平面AED⊥平面A1FD1．

（2）解：由于點M在直線AE上，

設 =λ（0，2，1）=（0，2λ，λ）．

可得M（2，2λ，λ），∴ =（0，2λ，λ﹣2），

∵AD⊥A1M，∴要使A1M⊥平面ADE，

只需A1M⊥AE，

∴ =（0，2λ，λ﹣2）（0，2，1）=5λ﹣2=0，

解得λ= ．故當A= A時，A1M⊥平面ADE

【解析】（1）建立如圖所示的空間直角坐標系D﹣xyz，不妨設正方體的棱長為2，設平面AED的法向量為 =（x1，y1，z1），

利用 =0， =0，得 =（0，1，﹣2），同理可得平面A1FD1的法向量 =（0，2，1）．

通過 =0，證明平面AED⊥平面A1FD1．（2）由于點M在直線AE上，設 =（0，2λ，λ）． =（0，2λ，λ﹣2），利用AD⊥A1M， =0，推出5λ﹣2=0，

解得λ= ．故當A= A時，A1M⊥平面ADE點M在直線AE上，