Question

【題目】設數列{an}的前n項和為Sn ， 設an是Sn與2的等差中項，數列{bn}中，b1=1，點P（bn ， bn+1）在直線y=x+2上．
（Ⅰ）求an ， bn；
（Ⅱ）若數列{bn}的前n項和為Bn ， 比較 + +…+ 與1的大小．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵an是Sn與2的等差中項，∴2an=Sn+2 …①當n=1時，a1=2；
n≥2時，2an﹣1=Sn﹣1+2 …②；
∴由①﹣②得：an=2an﹣1
∴{an}是一個以2為首項，以2為公比的等比數列，
∴an=2n ．
又∵點P（bn ， bn+1）在直線x﹣y+2=0上，
∴bn﹣bn+1+2=0即：bn+1﹣bn=2，
又b1=1，∴{bn}是一個以1為首項，以2為公差的等差數列，
∴bn=2n﹣1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：Bn= ．
∴ ，
∴ + +…+ = =1﹣ ＜1
【解析】（I）由于an是Sn與2的等差中項，可得2an=Sn+2，利用當n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1即可得出an與an﹣1的關系，再利用等比數列的通項公式即可得出．由于點P（bn ， bn+1）在直線x﹣y+2=0上，可得bn﹣bn+1+2=0即：bn+1﹣bn=2，再利用等差數列的通項公式即可得出．（II）利用等差數列的前n項和公式可得Bn ， 再利用“放縮法”和“裂項求和”即可證明
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數列的前n項和的相關知識，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系，以及對數列的通項公式的理解，了解如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．