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已知橢圓:的左焦點為,且過點.

(1)求橢圓的方程;
(2)設過點P(-2,0)的直線與橢圓E交于A、B兩點，且滿足.
①若,求的值;
②若M、N分別為橢圓E的左、右頂點，證明:

(1)  ;(2)參考解析

解析試題分析：(1)因為由橢圓:的左焦點為,即.由點到兩焦點的距離和可求出橢圓的長軸.從而可以求出橢圓的方程.
(2)（1）通過假設直線的方程聯立橢圓方程消去y可得一個一元二次方程，由韋達定理即可求出直線的斜率k的值，從而解出A,B兩點的坐標，即可得結論.（2）分別求兩直線的斜率和，利用韋達定理得到的關系式即可證明斜率和為零.即可得到結論.
試題解析：(1)因為焦點為， C=1，又橢圓過，
取橢圓的右焦點，，由得，
所以橢圓E的方程為 
（2）①設,,

顯然直線斜率存在,設直線方程為 
由得: 
得,,
,, 
,符合,由對稱性不妨設,
解得, 
②若,則直線的方程為,
將代入得, 不滿足題意,同理 
,,


考點：1.橢圓的性質.2.直線與橢圓的位置關系.3.韋達定理.4.幾何問題構建代數方法解決.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

(13分)已知圓O：x2＋y2＝3的半徑等于橢圓E：＝1(a>b>0)的短半軸長，橢圓E的右焦點F在圓O內，且到直線l：y＝x－的距離為－，點M是直線l與圓O的公共點，設直線l交橢圓E于不同的兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)．

(1)求橢圓E的方程；
(2)求證：|AF|－|BF|＝|BM|－|AM|.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率與雙曲線的離心率互為倒數，直線與以原點為圓心，以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.
（1）求橢圓的方程；
（2）設橢圓的左焦點為，右焦點為，直線過點且垂直于橢圓的長軸，動直線垂直于點，線段垂直平分線交于點，求點的軌跡的方程；
（3）設第（2）問中的與軸交于點，不同的兩點在上，且滿足,求的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知分別是橢圓的左，右頂點，點在橢圓 上，且直線與直線的斜率之積為．

（1）求橢圓的標準方程；
（2）點為橢圓上除長軸端點外的任一點，直線，與橢圓的右準線分別交于點，．
①在軸上是否存在一個定點,使得?若存在，求點的坐標；若不存在,說明理由；
②已知常數，求的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知雙曲線x2-y2=2若直線n的斜率為2 ，直線n與雙曲線相交于A、B兩點，線段AB的中點為P，
(1)求點P的坐標（x,y)滿足的方程（不要求寫出變量的取值范圍）；
(2)過雙曲線的左焦點F1，作傾斜角為的直線m交雙曲線于M、N兩點，期中，F2是雙曲線的右焦點，求△F2MN的面積S關于傾斜角的表達式。

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓C：＝1(a>b>0)的離心率與等軸雙曲線的離心率互為倒數關系，直線l：x－y＋＝0與以原點為圓心， 以橢圓C的短半軸長為半徑的圓相切．
(1)求橢圓C的方程；
(2)設M是橢圓的上頂點，過點M分別作直線MA，MB交橢圓于A，B兩點，設兩直線的斜率分別為k1，k2，且k1＋k2＝4，證明：直線AB過定點.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標系中，動點滿足：點到定點與到軸的距離之差為.記動點的軌跡為曲線.
（1）求曲線的軌跡方程；
（2）過點的直線交曲線于、兩點，過點和原點的直線交直線于點，求證：直線平行于軸.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知拋物線的頂點在坐標原點，焦點在軸上，拋物線上的點到的距離為2，且的橫坐標為1．直線與拋物線交于，兩點.
（1）求拋物線的方程；
（2）當直線，的傾斜角之和為時，證明直線過定點.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓上的點到左右兩焦點的距離之和為，離心率為.
（1）求橢圓的方程；
（2）過右焦點的直線交橢圓于兩點，若軸上一點滿足，求直線的斜率的值.

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