Question

已知函數f（x）=ax++c（a＞0）的圖象在點（1，f（1））處的切線方程為y=x-1．
（1）試用a表示出b，c；
（2）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范圍；
（3）證明：1+++L+＞ln（n+1）+（n≥1）．

Answer 1

解：（1）∵，
∴
∴f（1）=a+a-1+c=2a-1+c．
又∵點（1，f（1））在切線y=x-1上，
∴2a-1+c=0?c=1-2a，
∴．
（2）∵，
f（x）≥lnx在[1，+∞]上恒成立，
設g（x）=f（x）-lnx，則g（x）=f（x）-lnx≥0在[1，+∞]上恒成立，
∴g（x）_min≥0，
又∵，
而當時，．
1°當即時，
g'（x）≥0在[1，+∞]上恒成立，
∴；
2°當即時，
g'（x）=0時；
且時，g'（x）＜0，
當時，g'（x）＞0；
則①，
又∵與①矛盾，不符題意，故舍．
∴綜上所述，a的取值范圍為：[，+∞）．

（3）證明：由（1）可知時，f（x）≥lnx在[1，+∞]上恒成立，
則當時，在[1，+∞]上恒成立，
令x依次取…時，
則有，，
…
，
由同向不等式可加性可得
，
即，
也即，
也即1+++…+＞ln（n+1）+（n≥1）．
解法二：①當n=1時左邊=1，右邊=ln2+＜1，不等式成立；
②假設n=k時，不等式成立，就是1+++…+＞ln（k+1）+（k≥1）．
那么1+++…++＞ln（k+1）++
=ln（k+1）+．
由（2）知：當時，有f（x）≥lnx （x≥1）
令有f（x）= （x≥1）
令x=得
∴
∴1+++…++＞
這就是說，當n=k+1時，不等式也成立．
根據（1）和（2），可知不等式對任何n∈N^*都成立．
分析：（1）通過函數的導數，利用導數值就是切線的斜率，切點在切線上，求出b，c即可．
（2）利用f（x）≥lnx，構造g（x）=f（x）-lnx，問題轉化為g（x）=f（x）-lnx≥0在[1，+∞]上恒成立，
利用導數求出函數在[1，+∞）上的最小值大于0，求a的取值范圍；
（3）由（1）可知時，f（x）≥lnx在[1，+∞]上恒成立，則當時，在[1，+∞]上恒成立，
對不等式的左側每一項裂項，然后求和，即可推出要證結論．
解法二：利用數學歸納法的證明步驟，證明不等式成立即可．
點評：本題是難題，考查函數與導數的關系，曲線切線的斜率，恒成立問題的應用，累加法與裂項法的應用，數學歸納法的應用等知識，知識綜合能力強，方法多，思維量與運算良以及難度大，需要仔細審題解答，還考查分類討論思想．