Question

已知點B₁(1，y₁)，B₂(2，y₂)，…，B_n(n，y_n)，…(n∈N^*)順次為直線y=x+上的點，點A₁(x₁，0)，A₂(x₂，0)，…，A_n(x_n，0)，…順次為x軸上的點，其中x₁=a(0＜a＜1).對于任意n∈N^*，點A_n，B_n，A_n+1構成以B_n為頂點的等腰三角形．

(1)求數列{y_n}的通項公式，并證明它為等差數列；

(2)求證：x_n+2－x_n是常數，并求數列{x_n}的通項公式；

(3)上述等腰△A_nB_nA_n+1中是否可能存在直角三角形，若可能，求出此時a的值；若不可能，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(2)xn=;(3)當a=或a=或a=時，存在直角三角形． (1)證明：yn=n+，yn+1－yn=，所以數列{yn}是等差數列． (2)解：由題意知，=n，所以數列xn+xn+1=2n.① xn+1+xn+2=2(n+1).② ①、②相減，得xn+2－xn=2. ∴x1，x3，x5，…，x2n－1，…成等差數列；x2，x4，x6，…，x2n，…成等差數列， ∴xn= (3)解：當n是奇數，An(n+a－1，0)，An+1(n+1－a，0)，所以|AnAn+1|=2(1－a);當n是偶數時，An(n－a，0)，An+1(n+a，0)，所以|AnAn+1|=2a; 作BnCn⊥x軸于Cn，則|BnCn|=n+． 要使等腰三角形AnBnAn+1為直角三角形，必需且只需|AnAn+1|=2|BnCn|． 所以，當n為奇數時，有2(1－a)=2(n+)，即12a=11－3n.(*) 當n=1時，a＝；當n=3時，a＝；當n≥5時，方程(*)無解． 當n是偶數時，12a＝3n＋1，同理可求得a=． 綜上，當a=或a=或a=時，存在直角三角形．