Question

22、已知函數f（x）=（x³-6x²+3x+t）e^x，t∈R．
（Ⅰ）若函數y=f（x）依次在x=a，x=b，x=c（a＜b＜c）處取極值，求t的取值范圍；
（Ⅱ）若存在實數t∈[0，2]，使對任意的x∈[1，m]，不等式f（x）≤x恒成立，求正整數m的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據公式求出函數的導數，根據導數求出函數的極值，根據極值判斷根的個數，判斷各個根是否大于零
（2）構造不等式，不等式f（x）≤x?（x³-6x²+3x+t）e^x≤x?t≤xe^-x-x³+6x²-3x，轉化為存在實數t∈[0，2]，使對任意的x∈[1，m]，不等式t≤xe^-x-x³+6x²-3x恒成立，即不等式0≤xe^-x-x³+6x²-3x在x∈[1，m]上恒成立．利用恒成立問題及導數求出m的最值

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=（3x²-12x+3）ex+（x³-3x²-9x+t+3）e^x=（x³-3x²-9x+t+3）e^x
∵f（x）有三個極值點∴x³-3x²-9x+t+3=0有三個根a、b、c．
令g（x）=x³-3x²-9x+t+3，則g'（x）=3x²-6x-9=3（x+1）（x-3）
∴g（x）在（-∞，-1），（3，+∞）上遞增，在（-1，3）上遞減
∵g（x）有三個零點∴g（-1）＞0，g（3）＜0
∴-8＜t＜24（5分）
（Ⅱ）不等式f（x）≤x?（x³-6x²+3x+t）e^x≤x?t≤xe^-x-x³+6x²-3x
轉化為存在實數t∈[0，2]，使對任意的x∈[1，m]，不等式t≤xe^-x-x³+6x²-3x恒成立，即不等式0≤xe^-x-x³+6x²-3x在x∈[1，m]上恒成立．
設φ（x）=e^-x-x²+6x-3，則φ'（x）=-e^-x-2x+6
設r（x）=φ'（x）=-e^-x-2x+6，則r'（x）=e^-x-2，∵x∈[1，m]∴r'（x）＜0
故r（x）在區間[1，m]上是減函數，又r（1）=4-e^-1＞0，r（2）=2-e^-2＞0，r（3）=e^-3＜0
故存在x₀∈（2，3），使得r（x0）=φ′（x₀）=0
當1≤x＜x₀時有φ′（x₀）＞0，當x＞x₀時有φ′（x₀）＜0
從而y=φ（x）在區間[1，x₀]上遞增，在區間[x0，+∞）上遞減
又φ（1）=e^-1+2＞0，φ（2）=e^-2+5＞0，φ（3）=e^-3+6＞0
φ（4）=e^-4+7＞0，φ（5）=e^-5+8＞0，φ（6）=e^-6+9＜0
∴當1≤x≤5時，恒有φ（x）＞0；當x≥6時，φ（x）＜0
故使命題成立的正整數m的最大值為5…12分

點評：該題考查函數的求導，利用導數求函數的極值，再根據恒成立問題求m的最大值．