Question

設a＞0，定點F（a，0），直線l：x=-a交x軸于點H，點B是l上的動點，過點B垂直于l的直線與線段BF的垂直平分線交于點M．
（I）求點M的軌跡C的方程；
（II）設直線BF與曲線C交于P，Q兩點，證明：向量、與的夾角相等．

Answer 1

【答案】分析：（I）連接MF根據題意可推斷出|MF|=|MB|，進而根據拋物線的定義推知C的方程．
（II）設P，Q的坐標和直線BF的方程，與拋物線的方程聯立，利用韋達定理表示出x₁x₂，令與的夾角為θ₁，與的夾角為θ₂，利用向量的數量積的運算可分別求得cosθ₁和cosθ₂的表達式，結果相等，根據θ₁和θ₂的范圍，推斷出二者相等．
解答：（I）解：連接MF，依題意有|MF|=|MB|，
所以動點M的軌跡是以F（a，0）為焦點，直線l：x=-a為準線的拋物線，
所以C的方程為y²=4ax．（5分）
（II）解：設P，Q的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
依題意直線BF的斜率存在且不為0，設直線BF的方程為y=k（x-a）（k≠0），
將其與C的方程聯立，消去y得k²x²-2a（k²+2）x+a²k²=0
故x₁x₂=a²．
記向量與的夾角為θ₁，與的夾角為θ₂，其中0＜θ₁，θ₂＜π，
因為，
所以；
同理
因為cosθ₁=cosθ₂，且0＜θ₁，θ₂＜π，
所以θ₁=θ₂，即、與的夾角相等．
點評：本題主要考查了拋物線的定義，本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題，向量的數量積的運算．考查了學生數形結合思想的運用和分析問題的能力．