Question

如圖，正方形AA₁D₁D與矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2，點E為AB上一點

(I) 當點E為AB的中點時,求證；BD₁//平面A₁DE
(II)求點A₁到平面BDD₁的距離；
(III)  當時，求二面角D₁-EC-D的大小.

Answer 1

（1）略  （2）A₁到面BDD₁的距離為 （3）D₁-EC-D的大小為

(I) 要證BD₁//平面A₁DE，只要證明BD₁平行該面內的一條直線，取中點，由中位線可證得；(II)等積法求高；(III)可以用傳統法找出平面角也可以向量法求。
解法一：（I）證明：連結AD₁交A₁D于F，則F為中點，連結EF，如圖．

∵ E為中點，∴ EF//BD₁．又EF面A₁DE，BD₁面A₁DE，
∴ BD₁//面A₁DE．……………3分
（II）在Rt△ABD中，AB=2AD=2，可得BD=，
∴ ，，
設A₁到面BDD₁的距離為d，則由有
，即，解得 ，
即A₁到面BDD₁的距離為．……………………………………………8分
（III）連結EC．由，有，，
過D作DH⊥EC于H，連結D₁H，由已知面AA₁D₁D⊥面ABCD且DD₁⊥AD，
∴DD₁⊥面ABCD．由三垂線定理知：D₁H⊥EC，∴ ∠DHD₁為D₁-EC-D的平面角．
Rt△EBC中，由，BC=1，得．又DH·EC=DC·BC，代入解得，
∴在Rt△DHD₁中，．∴，即二面角D₁-EC-D的大小為．…………12分
解法二：（I）同解法一．………………3分
（II）由面ABCD⊥面ADD₁A，且四邊形AA₁D₁D為正方形，四邊形ABCD為矩形，可得D₁D⊥AD，D₁D⊥DC，DC⊥DA．
于是以D為原點，DA，DC，DD₁分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．

由AB=2AD=2知：D(0，0，0)，D₁(0，0，1)，A₁(1，0，1)，B(1，2，0)，
∴ =(1，2，0)，=(0，0，1)，=(0，2，-1)．設面BDD₁的一個法向量為n₁，
則 即 ∴．
∴ 點A₁到面BDD₁的距離．  …………………………8分
（III）由（II）及題意知：E(1，，0)，C(0，2，0)，，．
設面D₁EC的一個法向量為，
則  即可得．
又易知面DEC的一個法向量是(0，0，1)，
設D₁-EC-D的大小為θ，則，得．
即D₁-EC-D的大小為