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【題目】設函數 ，的導函數為.

（1）討論函數的單調區間；

（2）對于曲線上的不同兩點，，，求證：在內存在唯一的，使直線的斜率等于.

【答案】(1)a＞0時， 上單調遞增，在上單調遞減.時在（0，+∞）單調遞減. (2)見證明

【解析】

（1）對a分兩種情況討論，利用導數求函數的單調區間；（2）即 只需證明，且唯一．再構造函數證明得解.

解：（1），

又的定義域為

當時，函數在區間上單調遞減；

當時，

該函數在上單調遞增，在上單調遞減.

（2）∵，

∴，化簡得

即

因此，要證明原命題成立，只需證明

，且唯一．

設， ①

則，

再設，，

∴，

∴在是增函數，

又，∴ ②

同理 ③

∵一次函數在上是增函數，

因此由①②③得在有唯一解，

故原命題成立．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，點在橢圓上.

(1)求橢圓的方程；

(2)若不過原點的直線與橢圓相交于兩點，與直線相交于點，且是線段的中點，求面積的最大值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在幾何體中，四邊形為菱形，對角線與的交點為，四邊形為梯形， .

（Ⅰ）若，求證： 平面；

（Ⅱ）求證：平面平面；

（Ⅲ）若， ， ，求與平面所成角.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖①，在直角梯形ABCD中，AD＝1，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，點E是BC邊的中點，將△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，連接AE，AC，DE，得到如圖②所示的幾何體.

(1)求證：AB⊥平面ADC；

(2)若AC與平面ABD所成角的正切值為，求二面角B—AD—E的余弦值。

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系O中，直線與拋物線＝2相交于A、B兩點．

（1）求證：命題“如果直線過點T（3，0），那么＝3”是真命題；

（2）寫出（1）中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】設,分別為橢圓:的左右焦點,已知橢圓上的點到焦點,的距離之和為4.

(1)求橢圓的方程;

(2)過點作直線交橢圓于,兩點,線段的中點為,連結并延長交橢圓于點(為坐標原點),若,,等比數列,求線段的方程.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】長方形中， ， 是中點（圖1）．將△沿折起，使得（圖2）在圖2中：

（1）求證：平面 平面；

（2）在線段上是否存點，使得二面角為大小為，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在如圖所示的幾何體中，四邊形為平行四邊形， 　平面，且是的中點.

（1）求證： 平面；

（2）求二面角的余弦值的大小.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】中國古代數學著作《算法統宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關……”其大意為：“某人從距離關口三百七十八里處出發，第一天走得輕快有力，從第二天起，由于腳痛，每天走的路程為前一天的一半，共走了六天到達關口……” 那么該人第一天走的路程為______________

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