Question

設A_n為數列｛a_n｝的前n項和，A_n=（a_n－1）（n∈N^*），數列｛b_n｝的通項公式為b_n=4n+3（n∈N）.

（Ⅰ）求數列｛a_n｝的通項公式；

（Ⅱ）若d∈｛a₁，a₂，a₃，…，a_n，…｝∩｛b₁，b₂，b₃，…，b_n，…｝，則稱d為數列｛a_n｝與｛b_n｝的公共項，將數列｛a_n｝｛b_n｝的公共項，按它們在原數列中的先后順序排成一個新的數列｛d_n｝，證明數列｛d_n｝的通項公式為d_n=3²ⁿ⁺¹（n∈N^*）；

（Ⅲ）設數列｛d_n｝中第n項是數列｛b_n｝中的第r項，B_r為數列｛b_n｝的前r項的和，D_n為數列｛d_n｝的前n項和，T_n=B_r+D_n，求.

 

Answer 1

答案：
解析：

解：（Ⅰ）由已知An=（an－1）（n∈N），當n=1時，a1=（a1－1）， 解得a1=3， 當n≥2時，an=An－An－1=（an－an－1），由此解得an=3an－1， 即=3（n≥2）. 所以數列｛an｝是首項為3，公比為3的等比數列，故an=3n（n∈N*）； （Ⅱ）證明：由計算可知a1，a2不是數列｛bn｝中的項， 因為a3=27=4×6＋3，所以d1=27是數列｛bn｝中的第6項 設ak=3k是數列｛bn｝中的第n項，則3k=4m+3（k，m∈N）， 因為ak+1=3k+1=3·3k=3（4m+3）=4（3m+2）+1， 所以ak+1不是數列｛bn｝中的項. 而ak+2=3k+2=9·3k=9（4m+3）=4（9m+6）+3， 所以ak+2是數列｛bn｝中的項 由以上討論可知d1=a3，d2=a5，d3=a7，…，dn=a2n+1 所以數列｛dn｝的通項公式是dn=a2n+1=32n+1（n∈N*） （Ⅲ）解：由題意，32n+1=4r+3， 所以r=（32n－1） 易知 ∴