Question

設函數f（x）=x²-2（-1）^klnx（k∈N^*）．f′（x）是f（x）的導函數．
（1）當k為偶數時，正項數列{a_n}滿足：．證明：數列中任意不同三項不能構成等差數列；
（2）當k為奇數時，證明：當x＞0時，對任意正整數n都有[f′（x）]ⁿ-2^n-1f′（x）≥2ⁿ（2ⁿ-2）成立．

Answer 1

證明：（1）當k為偶數時，f（x）=x²-2lnx，f′（x）=2x-=，f′（a_n）=
由已知，得出2（-1）=-3，
∴+1=2（+1），數列{+1}是以2為公比，以=2為首項的等比數列．
∴+1=2•2^n-1=2ⁿ，=2ⁿ-1，
假設數列中存在不同三項構成等差數列，不妨設r＜s＜t，則，即2（2^s-1）=2^r-1+2^t-1，2^s+1=2^r+2^t，2^s-r+1=1+2^t-r
又s-r+1＞0，t-r＞0，
∴2^s-r+1為偶數，1+2^t-r為奇數，矛盾．故假設不成立．因此數列中任意不同三項不能構成等差數列．
（2）當k為奇數時，f（x）=x²+2lnx，f′（x）=2x+=2（），即證-2^n-1•2（）≥2ⁿ（2ⁿ-2）
即證-（）≥2ⁿ-2．
證法一：由二項式定理，即證+++…≥2ⁿ-2
設S_n=+++…，
又S_n=++…++．
兩式相加，得出2S_n=++…+
≥2（）=2（2ⁿ-2）．
∴S_n^≥2ⁿ-2．
證法二：數學歸納法
當n=1時，左邊=0，右邊=0，不等式成立．
設當n=k（k≥1）時成立．即-（）≥2^k-2成立，
則當n=k+1時，-（）=-（）
≥[（2^k-2）+（）]-（）
=（2^k-2）++x^k-1+-（）
=（2^k-2）+x^k-1+
≥（2^k-2）•2+2
=2^k+1-2
即當n=k+1時不等式成立．
綜上所述，對任意正整數n不等式成立．
分析：（1）當k為偶數時，由已知，得出2（-1）=-3，整理構造得出數列{+1}是以2為公比，以=2為首項的等比數列，求出=2ⁿ-1，假設數列中存在不同三項構成等差數列，不妨設r＜s＜t，則①，考察①是否有解，作出解答．
（2）當k為奇數時，原不等式化為-2^n-1•2（）≥2ⁿ（2ⁿ-2）．可以利用二項式定理，結合倒序相加法，基本不等式進行證明，或者用數學歸納法證明．
點評：本題是函數、數列、不等式的綜合．考查數列通項公式求解，不定方程解的討論，不等式的證明方法．用到了構造轉化、基本不等式、數學歸納法等知識方法．運算量較大，是容易出錯的地方．