Question

（2007•奉賢區一模）已知：函數f(x)=

x

ax+b

(a，b∈R，ab≠0)，f(2)=

2

3

，f(x)=x有唯一的根．
（1）求a，b的值；
（2）數列{a_n}對n≥2，n∈N總有a_n=f（a_n-1），a₁=1；求證{

1

an

}為等差數列，并求出{a_n}的通項公式．
（3）是否存在這樣的數列{b_n}滿足：{b_n}為{a_n}的子數列（即{b_n}中的每一項都是{a_n}的項）且{b_n}為無窮等比數列，它的各項和為

1

2

．若存在，找出一個符合條件的數列{b_n}，寫出它的通項公式；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據f（2）的值建立關于a和b的等量關系，
解法一：根據f（x）=x 有唯一根，可得ax²+（b-1）x=0有唯一根，利用判別式進行求解，求出a和b的值；
解法二：根據f（x）=x 有唯一根，可得x（

1

ax+b

-1）=0，解得一根為0，從而

1

ax+b

-1=0的根也是x=0，可求出a和b的值；
（2）將an=

an-1

an-1+1

取倒數，化簡可得{

1

an

}為等差數列，從而求出{a_n}的通項公式．
（3）設{b_n} 的首項為

1

m

，公比為q，然后求出這個無窮等比數列的各項和可得到m和q的等量關系，然后任意求出一組符合題意數列即可．

解答：解：（1）f(2)=

2

3

⇒

2

2a+b

=

2

3

（1分）
解法一：f（x）=x 有唯一根，所以

x

ax+b

=x即ax²+（b-1）x=0有唯一根，（1分）
∴△=（b-1）²=0，（1分）
b=1 a=1 （1分）
有 b=1 a=1 得：方程的根為：x=0（1分）
經檢驗x=0是原方程的根（1分）
解法二：

x

ax+b

=x
x（

1

ax+b

-1）=0（1分）
　 x₁=0，因為方程有唯一的根（1分）
即：

1

ax+b

-1=0的根也是x=0，（1分）
得b=1 a=1 （1分）
經檢驗x=0是原方程的根（1分）
（2）an=

an-1

an-1+1

⇒

1

an

-

1

an-1

=1 （2分）
∴{

1

an

}為等差數列（1分）
∴

1

an

=

1

a1

+(n-1)×1=n （2分）
所以 an=

1

n

（1分）
（3）設{b_n} 的首項為

1

m

，公比為q （m∈N*，

1

q

∈N* ）
所以這個無窮等比數列的各項和為：

1 m

1-q

=

1

2

，

2

m

=1-q；
當m=3 時，q=

1

3

，bn=(

1

3

)n；
當m=4時，q=

1

2

，bn=(

1

2

)n+1 （6分）

點評：本題主要考查了等差數列的判定和數列的求和，同時考查了方程的根的有關問題，屬于中檔題．