Question

給定正整數 n 和正數 M，對于滿足條件≤M 的所有等差數列 a₁，a₂，a₃，…．，試求 S=a_n+1+a_n+2+…+a_2n+1的最大值．

Answer 1

解：設公差為d，a_n+1=a，
則S=a_n+1+a_n+2+…a_2n+1是以a_n+1=a為首項，d為公差的等差數列的前（n+1）項和，
所以S=a_n+1+a_n+2+…a_2n+1=（n+1）a+d．
同除以（n+1），得 ．
則M≥=
≥
因此|S|≤（n+1），
且當 a=，d= 時，
S=（n+1）〔+〕
=（n+1）=（n+1）
由于此時4a=3nd，故 =．
所以，S的最大值為（n+1）．
分析：設公差為d，a_n+1=a，由S=a_n+1+a_n+2+…a_2n+1=（n+1）a+d得，，則有M≥，下面由基本不等式的性質可解．
點評：本題為數列和不等式的結合，正確變形時解決問題的關鍵，屬中檔題．