Question

【題目】已知函數f（x）=x2+ax﹣lnx，a∈R．
（1）若函數f（x）在[1，2]上是減函數，求實數a的取值范圍；
（2）令g（x）=f（x）﹣x2 ， 是否存在實數a，當x∈（0，e]（e是自然常數）時，函數g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解： 在[1，2]上恒成立，

令h（x）=2x2+ax﹣1，

有

得 ，

得

（2）解：假設存在實數a，使g（x）=ax﹣lnx（x∈（0，e]）有最小值3， =

當a≤0時，g（x）在（0，e]上單調遞減，g（x）min=g（e）=ae﹣1=3， （舍去），

∴g（x）無最小值．

當 時，g（x）在 上單調遞減，在 上單調遞增

∴ ，a=e2，滿足條件．

當 時，g（x）在（0，e]上單調遞減，g（x）min=g（e）=ae﹣1=3， （舍去），

∴f（x）無最小值．

綜上，存在實數a=e2，使得當x∈（0，e]時g（x）有最小值3．

【解析】（1）由函數f（x）在[1，2]上是減函數得 在[1，2]上恒成立，即有h（x）=2x2+ax﹣1≤0成立求解．（2）先假設存在實數a，求導得 = ，a在系數位置對它進行討論，結合x∈（0，e]分當a≤0時，當 時，當 時三種情況進行．