Question

（本小題滿分14分）

如圖，沿等腰直角三角形的中位線，將平面折起（轉動一定角度），得到四棱錐，設、、、的中點分別為、、、，平面⊥平面。

（1）求證：平面⊥平面；

（2）求證：、、、四點共面；

（3）求異面直線與所有的角。

Answer 1

（1）證明:由等腰直角三角形有，CDDE，DE∥BC -------- 1分

又，面ACD，              ----------2分

又DE∥BC      

平面，平面，            ----------3分

平面平面。                      ----------4分

(2)由條件有PQ為的中位線，MN為梯形BCDE的中位線  ----------1分

PQ∥DE，MN∥DE                               ----------2分

PQ∥MN                                      ----------3分

 M、N、P、Q四點共面．                      ----------4分

(3) 解法一：平面平面,交線為DE, ADDE   

AD面BCDE                                ----------1分

AD、DC、DE兩兩互相垂直    

可以以D為原點建立如圖空間直角坐標系，        ----------2分

設AD=2（長度單位），則DC=2，BC=4，

則C（2，0，0），A（0，0，2），E（0，2，0），

B（2，4，0）                   ----------3分

     ----------4分

設異面直線BE與MQ所成的角為，∵MQ∥BC,

∴   

             ----------5分

，  

異面直線BE與MQ所成的角大小為．----------6分

解法二：設AD=1（長度單位），則DC=1，BC=2，

延長ED到R，使DR＝ED，連結RC         ---1分

則ER＝BC，ER∥BC，故BCRE為平行四邊形  --2分

RC∥EB，又AC∥QM    

為異面直線BE與QM所成的角（或的補角）

   ------3分

DA=DC=DR，且三線兩兩互相垂直，

∴由勾股定理得AC=AR=RC=，    ---------4分

ACR為正三角形，＝    ------5分

異面直線BE與QM所成的角大小為   ------6分

解法三：設AD=2（長度單位），則DC=2，BC=4，

取BC中點K，再取CK中點H，連結MH，則在梯形BCDE中可得MH∥BE  

為異面直線BE與MQ所成的角（或的補角）          ----------1分

且MH＝BE，CH＝BC＝1，又CM＝1，

CHM中，可得MH＝

又MDQ中可得QM＝，                                --------------2分

又DCH中可得DK＝，

QDH中可得QH＝ --------------3分

  --------------4分

                 --------------5分

，

異面直線BE與MQ所成的角大小為                 ----------6分