Question

對于函數f（x），若存在x∈R，使f（x）=x成立，則稱x為f（x）的不動點．如果函數有且僅有兩個不動點0、2，且．
（1）試求函數f（x）的單調區間；
（2）已知各項不為零的數列{a_n}滿足，求證：；
（3）設，T_n為數列{b_n}的前n項和，求證：T₂₀₀₈-1＜ln2008＜T₂₀₀₇．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用函數有且僅有兩個不動點0、2，可得，根據可確定c的范圍，從而可確定c，b的值，進而可得函數解析式，利用導數法求函數f（x）的單調區間；
（2）由已知可得2S_n=a_n-a_n²，當n≥2時，2S_n-1=a_n-1-a_n-1²，兩式相減得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1+1）=0，從而有a_n=-a_n-1或a_n-a_n-1=-1，進而可得a_n=-n，故待證不等式即為．再構造函數用函數的思想解決；
（3）由（2）可知則，在中令n=1，2，3，…，2007，并將各式相加，即可得證．
解答：解：（1）設∴∴
由
又∵b，c∈N*∴c=2，b=2
∴…（3分）
于是
由f'（x）＞0得x＜0或x＞2；   由f'（x）＜0得0＜x＜1或1＜x＜2
故函數f（x）的單調遞增區間為（-∞，0）和（2，+∞），
單調減區間為（0，1）和（1，2）…（4分）
（2）由已知可得2S_n=a_n-a_n²，當n≥2時，2S_n-1=a_n-1-a_n-1²
兩式相減得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1+1）=0
∴a_n=-a_n-1或a_n-a_n-1=-1
當n=1時，2a₁=a₁-a₁²⇒a₁=-1，若a_n=-a_n-1，則a₂=1這與a_n≠1矛盾
∴a_n-a_n-1=-1∴a_n=-n…（6分）
于是，待證不等式即為．
為此，我們考慮證明不等式
令，則t＞1，
再令g（t）=t-1-lnt，由t∈（1，+∞）知g'（t）＞0
∴當t∈（1，+∞）時，g（t）單調遞增∴g（t）＞g（1）=0于是t-1＞lnt
即①
令，由t∈（1，+∞）知h'（t）＞0
∴當t∈（1，+∞）時，h（t）單調遞增∴h（t）＞h（1）=0于是
即②
由①、②可知…（10分）
所以，，即…（11分）
（3）由（2）可知則
在中令n=1，2，3，…，2007，并將各式相加得
即T₂₀₀₈-1＜ln2008＜T₂₀₀₇…（14分）
點評：本題以函數為載體，考查新定義，考查函數解析式，考查數列與不等式，有較大的難度．