對于數列{an} （n=1，2，…，m），令bk為a1，a2，…，ak中的最大值，稱數列{bn}為{an}的“創新數列”．例如數列2，1，3，7，5的創新數列為2，2，3，7，7．定義數列{Cn}：c1，c2，c3，…，cm是自然數1，2，3，…，m（m＞3）的一個排列．
（Ⅰ）當m=5時，寫出創新數列為3，4，4，5，5的所有數列{Cn}；
（Ⅱ）是否存在數列{Cn}，使它的創新數列為等差數列？若存在，求出所有的數列{Cn}，若不存在，請說明理由．
【答案】分析：（Ⅰ）由題意可得，創新數列為3，4，4，5，5的所有數列 {Cn}有兩個．
（Ⅱ）存在數列{Cn}，使它的創新數列為等差數列．設數列{Cn} 的創新數列為{ en}，若{ en}為等差數列，設其公差為d，經過檢驗，當d=0或1時，存在數列{Cn}，使它的創新數列為等差數列．
解答：解：（Ⅰ）由題意可得，創新數列為3，4，4，5，5的所有數列 {Cn}有兩個，即數列3，4，1，5，2；
或數列3，4，2，5，1． …（4分）
（Ⅱ）存在數列{Cn}，使它的創新數列為等差數列．
設數列{Cn} 的創新數列為{ en}，（n=1，2，3，4…，m），
因為em 是 c1，c2，c3，…，cm 中的最大值，所以 em=m．
由題意知，ek為 c1，c2，c3，…ck 中最大值，所以，ek≤ek+1，且 ek∈{1，2，3，…，m}．
若{ en}為等差數列，設其公差為d，則d=ek+1-ek≥0 且d∈N．
當d=0 時，{ en}為常數列，又 em=m，所以數列{ en}為 m，m，…，m．
此時數列{Cn}是首項為m的任意一個符合條件的數列． …（8分）
當d=1時，因為em=m，所以數列{ en} 為1，2，…，m．
此時，數列{cn} 為1，2，3，…，m． …（10分）
當d≥2時，因為 em=e1+（m-1）d≥e1+（m-1）2=2m-2+e1，
又m＞3，e1 為正整數，所以 em＞m，這與 em=m 矛盾，所以此時{ en}不存在，即不存在{Cn}使得它的創新數列為公差d≥2的等差數列．…（13分）
綜上，當數列{Cn}為以m為首項的任意一個符合條件的數列，或{Cn}為數列1，2，3，…，m時，它的創新數列為等差數列．…（14分）
點評：本題主要考查創新數列的定義，等差數列的定義和性質，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．
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