Question

已知函數
（1）當a=0時，求f（x）在處切線的斜率；
（2）當時，討論f（x）的單調性；
（3）設g（x）=x²-2bx+3當時，若對于任意x₁∈（0，2），存在x₂∈[1，2]使f（x₁）≥g（x₂）成立，求實數b的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵a=0，∴，
∴
則f（x）在處切線的斜率…（4分）
（2）函數f（x）的定義域為x∈（0，+∞），
①當a=0時，，令f'（x）=0，解得x=1，
∴x∈（0，1），f'（x）＜0；x∈（1，+∞），f'（x）＞0
∴函數f（x）的單調遞增區間為（1，+∞），單調遞減區間為（0，1）…（6分）
②當時，，解得x₁=1或且x₁＜x₂
列表

x	（0，1）	1	（1，）		（）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↓	極小值	↑	極大值	↓

由表可知函數f（x）的單調遞減區間為（0，1）；單調遞增區間為，單調遞減區間為；
③當時，，∴函數f（x）的單調遞減區間為（0，+∞）．…（10分）
（3），，解得x₁=1或x₂=3
∵x∈（0，2），∴f（x）的單調遞減區間為（0，1）；單調遞增區間為（1，2），
∴f（x）的最小值為
原命題等價于g（x）在x∈[1，2]的最小值不大于f（x）在（0，2）上的最小值，
又g（x）=x²-2bx+3x∈[1，2]
①當b＜1時，g（x）的最小值為g（1）=4-2b＞2，不合；
②當b∈[1，2]時，g（x）的最小值為，解得；
③當b∈（2，+∞）時，g（x）的最小值為，解得b＞2，
綜上，b的取值范圍． …（14分）
分析：（1）求導函數，令，即可求得切線的斜率；
（2）分類討論，利用導數的正負，即可得到函數的單調區間；
（3）原命題等價于g（x）在x∈[1，2]的最小值不大于f（x）在（0，2）上的最小值，由此可求實數b的取值范圍．
點評：本題考查導數知識的運用，考查切線的斜率，考查函數的單調性，考查函數的最值，考查分類討論的數學思想，屬于中檔題．