Question

已知定義在R上的偶函數f（x）滿足：?x∈R恒有f（x+2）=f（x）-f（1）．且當x∈[2，3]時，f（x）=-2（x-3）²．若函數y=f（x）-log_a（x+1）在（0，+∞）上至少有三個零點，則實數a的取值范圍為

(0，

3

3

)

．

Answer 1

分析：利用函數是偶函數，求出f（1）=0，然后得出函數的周期，利用函數的周期性，由y=f（x）-log_a（x+1）=0得到f（x）=log_a（x+1），分別作出函數y=f（x）和y=log_a（x+1）的圖象，利用圖象確定a的取值范圍．

解答：解：因為函數是偶函數，所以當x=-1時，f（-1+2）=f（-1）-f（1）=f（1），解得f（1）=0，所以f（x+2）=f（x）-f（1）=f（x），即函數的周期是2．
由y=f（x）-log_a（x+1）=0得到f（x）=log_a（x+1），
分別作出函數y=f（x）和g（x）=log_a（x+1）的圖象，
若a＞1，則不滿足條件（圖1）
如0＜a＜1，要使函數y=f（x）-log_a（x+1）在（0，+∞）上至少有三個零點，
則滿足當x=2時，f（2）=-2，g（2）＞-2，即log_a（2+1）＞-2，log_a3＞-2，
解得0＜a＜

3

3

．
故答案為：(0，

3

3

)．

點評：本題主要考查函數零點應用，利用數形結合，將方程轉化為兩個函數圖象的相交問題是解決此類問題的基本方法．綜合性較強．