Question

已知函數.

（Ⅰ）當時，討論的單調性；

（Ⅱ）設時，若對任意，存在，使，求實數的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）當時，函數在（０，１）上單調遞減；

函數在（１，＋∞）上單調遞增；

當時，函數在（0，+∞）上單調遞減；

當時，函數在（0，1）上單調遞減； 

函數在上單調遞增；

函數上單調遞減，

（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）因為

所以

令

（1）當

所以，當，函數單調遞減；

當時，，此時單調遞

（2）當

即，解得

①當時，恒成立，

此時，函數在（0，+∞）上單調遞減；

②當

時，單調遞減；

時，單調遞增；

，此時，函數單調遞減；

③當時，由于

時，，此時，函數單調遞減；

時，，此時，函數單調遞增。

綜上所述：

當時，函數在（０，１）上單調遞減；

函數在（１，＋∞）上單調遞增；

當時，函數在（0，+∞）上單調遞減；

當時，函數在（0，1）上單調遞減； 

函數在上單調遞增；

函數上單調遞減，

（Ⅱ）因為，由（Ⅰ）知，

，當，

函數單調遞減；當時，

函數單調遞增，所以在（0，2）上的最小值為

由于“對任意，存在，使”等價于

“在[1，2]上的最小值不大于在（0，2）上的最小值” （*）

又，所以

①當時，因為，此時與（*）矛盾；

②當時，因為，同樣與（*）矛盾；

③當時，因為

解不等式，可得

綜上，的取值范圍是

考點：本題主要考查應用導數研究函數的單調性及極值。

點評：典型題，本題屬于導數應用中的基本問題，恒成立問題，往往通過“分離參數”，轉化成求函數的最值。涉及對數函數，要特別注意函數的定義域。