Question

（2011•廣東模擬）已知函數f（x）=sin²（

x

2

+

π

12

）+

3

sin（

x

2

+

π

12

）cos（

x

2

+

π

12

）-

1

2

．
（Ⅰ）求f（x）的值域；
（Ⅱ）若f（x）（x＞0）的圖象與直線y=

1

2

交點的橫坐標由小到大依次是x₁，x₂…，x_n，求數列{x_n}的前2n項的和．

Answer 1

分析：（I）利用輔助角公式對函數化簡可得f（x）=sinx，結合正弦函數的性質可求．
（II）由正弦曲線的對稱性、周期性可知

x1+x2

2

=

π

2

，

x3+x4

2

=2π+

π

2

，

x2n-1+x2n

2

=2(n-1)π+

π

2

，代入等差數列的前n項和公式可求．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

1-cos(x+ π 6 )

2

+

3

2

sin(x+

π

6

)-

1

2

=

3

2

sin(x+

π

6

)-

1

2

cos(x+

π

6

)=sinx
所以f（x）的值域為[-1，1]
（Ⅱ）由正弦曲線的對稱性、周期性可知

x1+x2

2

=

π

2

，

x3+x4

2

=2π+

π

2

，

x2n-1+x2n

2

=2(n-1)π+

π

2

∴x₁+x₂+…+x_2n-1+x_2n=π+5π+…（4n-3）π
=（2n²-n）π

點評：本題主要考查了輔助角公式的應用，正弦函數的值域的求解，正弦函數的對稱性及周期性的應用，還考查了數列的求和公式的運用．