Question

（本小題滿分12分）

如圖，已知，分別是正方形邊、的中點，與交于點，、都垂直于平面，且， ，是線段上一動點．

       （Ⅰ）求證：平面平面；

       （Ⅱ）若平面，試求的值；

       （Ⅲ）當是中點時，求二面角的余弦值．

Answer 1

解析：法1：（Ⅰ）連結，

∵平面，平面，

∴，

又∵，，

∴平面，

又∵，分別是、的中點，

∴，

∴平面，又平面，

∴平面平面；---------------------------------------4分

（Ⅱ）連結，

∵平面，平面平面，

∴，

∴，故  ----------------------------6分

（Ⅲ）∵平面，平面，∴，

在等腰三角形中，點為的中點，∴，

∴為所求二面角的平面角， ---------------------------------8分

∵點是的中點，∴，

所以在矩形中，可求得，，，

--------------------10分

在中，由余弦定理可求得，

∴二面角的余弦值為．------------------------------12分

法2：（Ⅰ）同法1；

（Ⅱ）建立如圖所示的直角坐標系，則，，，，

∴，，

設點的坐標為，平面的法向量為，則，

       所以，即，令，則，，

故，

∵平面，∴，即，解得，

故，即點為線段上靠近的四等分點；故      --------------------------8分

（Ⅲ），則，設平面的法向量為，

則，即，令，

則，，即，

當是中點時，，則

，

∴，

∴二面角的余弦值為．-------12分