Question

設數列的前項和為．已知，=a_n+1－n²－n－()
(1) 求的值；
(2) 求數列的通項公式；
(3) 證明:對一切正整數，有++…+<．

Answer 1

(1) 4
(2) n²
(3)見解析

(1) 依題意，2S₁=a₂－－1－，又，所以；
(2) 當時， 2S_n=na_n+1－n³－n²－n，
∴2S_n－1=(n－1)a_n－(n－1)³－(n－1)²－(n－1)，
兩式相減得2a_n=na_n+1－(n－1)a_n－(3n²－3n+1)－(2n－1)－
整理得，即－=1，
又－=1， 故數列{}是首項為=1，公差為的等差數列，
所以=1+(n－1)×1=n，所以．
(3) 當時， =1<；
當時， +=1+=<；
當時， =<=－，此時
++…+=1+++…+<1++(－)+(－)+…+(－)
=1++－=－<
綜上，對一切正整數，有++…+<．